欧拉函数的python 欧拉函数的计算公式

Python如何引用欧拉常数

欧拉常数(Euler-Mascheroniconstant)。

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学过高等数学的人都知道，调和级数S=1+1/2+1/3+..是发散的这时引用欧拉常数。

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（因此φ(1)=1）此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler’stotientfunction)，它又称为Euler’stotientfunction、φ函数、欧拉商数等例如φ(8)=4，因为1，3，5，7均和8互质。

欧拉函数的证明

欧拉函数：对任意大于1的正整数x，[1, x]范围内与x互质的正整数的个数 f(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2).....(1-1/pn)

其中pi为x所有的质因数（i=1, 2, ... , n）

证明：

当x=2时，仅有1与x互质，仅有1个质因数2，因此f(x)=x(1-1/p1)=2*(1-1/2)=1, 欧拉函数成立。

当x=p^k时，其中p为质数，k为正整数，则与x不互质的正整数为p, 2p, ..., x, 即p(1, 2, ..., x/p), 除此之外的数均与x互质，因此互质的个数为x-x/p=x(1-1/p), 欧拉函数成立。

当x=(p1^k1) * (p2^k2)时，根据定理，两个互质的正整数的欧拉函数之积等于其积的欧拉函数，因为(p1^k1) 与 (p2^k2) 互质，因此：

f((p1^k1) * (p2^k2)) = f(p1^k1) * f(p2^k2) = p1^k1(1-1/p1) * p2^k2(1-1/p2) =  (p1^k1) * (p2^k2) * (1-1/p1) * (1-1/p2)

即 f(x) = x(1-1/p1) * (1-1/p2) ，欧拉函数成立。

当x=(p1^k1) * (p2^k2) * ... * (pt^kt) , 其中t=3时，因为 (p1^k1) 与 (p2^k2) * ... * (pt^kt) 互质，因此

f(x) = f(p1^k1) * f((p2^k2) * ... * (pt^kt)), 

同理不断展开，即 

f(x) = f(p1^k1) * f(p2^k2) * ... * f(pt^kt) = (p1^k1) * (1-1/p1)  * (p2^k2) * (1-1/p2) .........  * (pt^kt) * (1-1/pt)

  = (p1^k1) * (p2^k2) * ... * (pt^kt) * (1-1/p1) * (1-1/p2) * .... * (1-1/pt) 

  = x(1-1/p1) (1-1/p2)  ....  (1-1/pt)

证明完毕

python的math库有没有欧拉函数？

对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（因此φ(1)=1）。此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler’s totient function)，它又称为Euler’s totient function、φ函数、欧拉商数等。cs-dn 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。

求欧拉函数的计算公式

它于1640年由Descartes首先给出证明，后来Euler(欧拉)于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理，R+V-E=2就是欧拉公式。

在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+V-E=2，这就是欧拉定理。

当R=2时。

由说明1这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”。

即R=2，V=2，E=2于是R+V-E=2,欧拉定理成立。

最简真分数的和欧拉公式

最简真分数的和欧拉公式，1998=2*3^3*37

在1-1997中

2的倍数有1998/2-1=998个

3的倍数有1998/3-1=665个

6的倍数有1998/6-1=332个

37的倍数有1998/37-1=53个

74的倍数有1998/74-1=26个

111的倍数有1998/111-1=17个

222的倍数有1998/222-1=8个

真分数有1997个

其中，6的倍数的数在2和3的倍数中都算上了即算了两次，74的倍数在2和37的倍数中都算上了即算了两次，111的倍数在3和37的倍数中都算上了即算了两次，222的倍数在2 3 6的倍数中也都算上了，即计算了三次，所以

最简真根数个数有1997-998-665-53+332+26+17-8=648个

根据欧拉函数：

φ（1998）=1998*（1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/37)=648

也可算得1998的最简真分数有648个。

计算和：

欧拉函数φ(n)的公式是：

欧拉函数φ(n)，表示小于n且与n互素的正整数的个数，设 n的标准质因数分解式为：n=p1^k1*p2^k2*.......*pt^kt

则 φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)……(1-1/pt)

可以证明，当＞2时，小于n且与n互素的正整数是成对出现的。即，如果 a 是小于n且与n互素的正整数，那么 n-a 也一定是小于n且与n互素的正整数，且这一对正整数的和正好是

a+(n-a)=n 。

也就是说，当a/1998是一个最简真分数时，(1998-a)/1998也是一个最简真分数。并且这两个数的和正好是1。

所以，分母是1998的最简真分数的和是φ（1998）/2=648/2=324.

n的正因数的个数是什么函数

如果你指的是一个自然数n的正因数个数，那这个函数就叫做Ω(n)，也称作欧拉函数。欧拉函数表示一个自然数n的正因数个数。例如，Ω(6) = 4，因为6的正因数有1、2、3和6。

欧拉函数可以通过如下方法求值：对于一个自然数n，如果它有p1、p2、...、pk个不同的质因子，那么Ω(n) = (p1+1)(p2+1) ... (pk+1)。例如，Ω(6) = (1+1)(2+1) = 2*3 = 4。

希望这个回答能够帮到你！

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